梁培基 “泥腿子”数学家的幻方传奇

2018-09-14 11:10:00  来源:  编辑:

  文 张盛秋
  在旅美数学家李学数2017年出版的著作《数学和数学家的故事》中,有一个章节用了整整40页专门介绍河南封丘农民梁培基。
  写数学家的书为何会与农民扯上关联?原因其实很简单——这位农民几十年如一日疯狂研究的对象并非庄稼,而是数学——偏居于村野的梁培基,虽面朝黄土但心向数学,凭着对数学着魔般的热爱,他居然仅凭古老的算盘为计算工具,打破了组合数学研究中“幻方”的世界之最,并在《数学传播》《数学研究与评论》以及组合数学界的权威杂志加拿大温尼伯大学计算机系的JCMCC等国内外数学刊物上发表了几十篇论文,不得不令人称奇。
  一本书,打开奇妙世界
  人的一生中会经历很多偶然,而某些偶然中,又似乎深藏着必然。很多时候,不回头看一看,我们真的不知道它有多么奇妙。梁培基虽自幼聪慧,尤其数学天分过人,但因家境贫寒,他仅读到初中二年级即回乡务农,成了一个地道农民。上世纪80年代初,一个偶然的机会,他买到一本冷门书,而这本书居然神奇地改变了他的人生轨迹。
  那是1980年初夏,梁培基成为村办厂的一名采购员。为此,他终于有机会离开他生活的小村走进郑州城里。那天在完成采购工作后,他顺路拐进一家书店,准备给孩子们买点课外书辅导功课用。他做梦也没想到,此次买回的一本书不但开阔了孩子们的眼界,还令他的人生大大地拐了个弯。此后,他无法自拔地对迷宫般的数学幻方着了魔,开始几十年如一日如痴如醉的钻研。
  那本具有魔力的书是上海科学技术出版社的《世界之最》,而令梁培基深陷其中的,则是书中介绍的奇妙的双重幻方。双重幻方,因各线积和都相等而表现出一种双重的美妙,早已引起世界上很多数学研究者的兴趣。在那本书中,收录有美国数学家霍纳(W.Horner)1955年创造出的8阶双重幻方——这是由64个数字组成的“方阵”,无论是按横方向、竖方向,还是按对角线方向,每组8个数之和均为840,其积也相等,均为2058068231856000。这组幻方以幻和、幻积均最小而被列为“世界之最”。自幼爱好数学的梁培基捧着此书反复研读,被双重幻方的奇妙之处深深吸引住,并开始“自不量力”地试图自己构造幻方。
  作为农民不种地却研究起天方夜谭般的数学难题,梁培基的举动很快引起村邻们议论。但已深深沉入幻方世界的他无暇顾及这些,开始利用一切可利用的时间进行研究,几乎达到废寝忘食地程度。为了验算他自己所构造的幻方的正确性,缺乏现代化计算设备的梁培基因陋就简,居然将十几个算盘摆成一字长蛇进行运算,场面甚是壮观。也许热爱真的能战胜一切,经过不解努力、反复探索,梁培基终于弄清了双重幻方构造的规律,并构造出幻和幻方均小于8阶的双重幻方,打破了之前美国数学家霍纳保持的世界之最。一个仅读到初中二年级的农民,仅凭十几台普通的算盘居然完成了数学家们在计算机上都未能完成的研究,这不是奇迹又是什么?梁培基的这一创举很快被中国珠算协会列为“中国珠算十大伟绩”之一,同时,他的幻方研究成果也被台北《数学传播》刊发。此后,梁培基再接再厉继续在幻方的迷宫里“攻城略地”,16阶、32阶、64阶双重幻方也陆续问世。

  ▲ 梁培基(左)逢人必谈数学

  一封信,结识千里恩师
  成功打开幻方迷宫大门的梁培基,更加痴迷地在这个王国里探寻。他探寻的方式即不知疲倦地研读与幻方相关的书籍——那些被普通人视为“天书”的艰涩内容,他常常读得津津有味。当然,也有他读起来感到艰难费力的时候。那一年,他在北京一家书店淘到一本数学家梁宗巨教授所著《世界数学史简编》,细读之下发现书中竟躺着不少“拦路虎”。向来不服输的梁培基昼夜苦思然而始终无解。终于,某一天清晨醒来,愁眉不展的他忽然脑筋一转想出高招——给书的作者写信讨教啊,不懂就问,也没啥丢脸的。
  于是,梁培基非常认真地给远在辽宁的梁宗巨教授写了一封信,向他讨教书中问题,并同时介绍了自己的研究及所得。半个月后,梁培基收到了梁宗巨教授的回信。他欣喜异常,甚至有点不敢相信这是真的,那一天,他做了一个美梦——感觉我正在爬山,爬到半山腰爬不动了,这时只觉得有人从身后拖住我往上一推,上去了……
  梁教授的确是将梁培基往上推一下的那个人。他在回信中不但认真解答了梁培基的一连串问题,还花了好几天时间验证这位农民数学狂人的计算结果并帮助修改了论文。1982年4月,在梁宗巨的力荐下,梁培基的第一篇论文《双重幻方》终于发表在《数学研究与评论》上。
  成功造出8阶、16阶幻方之后,梁培基曾一度迷失探索方向,将主要精力投注于构造更大的幻方。当时一门心思“求大”的他甚至已经造出了128阶双重幻方。正当他为自己构造的超级大幻方沾沾自喜之时,梁宗巨教授及时唤醒并为他指引研究方向:幻方阶数越低越难造,在阶数相同的幻方中,数字越小越难得。比方都是8阶双重幻方,则数字越小越可贵。真是一语点醒梦中人,在梁教授指引下梁培基立即改变探索方向,开始向最小的幻方进发。经过几个月的海量验算,他成功造出其和、其积分别最小的8阶及9阶的幻方。至此,这位农民数学家已经取得了最小8阶、最小9阶双重幻方以及当时最大128阶双重幻方3项研究成果,其研究所得接连发表于台北《数学传播》。
  此后梁培基再接再厉,与获“欧拉奖”的首位华人数学家朱烈教授等人合作,把双重幻方研究拓展到nk阶。这一研究成果由朱烈教授撰写成英文,发表于加拿大的JCMCC杂志。
  1982年8月,梁培基到东北出差,得有机会拜望仰慕已久的梁宗巨教授。终于得见恩师的梁培基抓住时机向梁教授请教了很多数学方面的问题,老先生都耐心地一一作答。
  那一次拜望给梁培基留下永恒的记忆也留下永久遗憾,此后不久梁教授即辞世西去。时至今日提起老先生,他依然动容:“梁教授不是我的恩师,却胜似我的恩师。虽然我没有机会直接听他授课,但老先生通过信函往来对我的指导,尤其是在研究方向方面的指引,是促使我踏上数学研究正确轨道的重要引路人。”
  由于解决了双重幻方的一些难题,1985年5月,梁培基被破格邀请参加在广州召开的“中国组合数学第二届年会”,并做了专题报告。美国加州大学数学系教授孙述寰教授高度评价了梁培基在组合数学专业研究领域所做的工作:“梁培基先生双重幻方的工作是有意义的,这种研究在海外做的人不多,他能单独工作并得到这些结果,难能可贵……建议给以适当的奖励,以利今后的研究。”在另一次学术会议上,中国数学会理事张忠辅先生对梁培基说:“小梁啊,用你的新方法,居高临下把‘和幻方’再解决一下……”梁培基依言求解,用正交拉丁方的方法,解决了用计算机构造“和幻方”的快速方法,研究成果发表于《云大学报》。后来他又与张教授合作发表了“双重数组方程解”等三篇论文。

  ▲ 很难想像,他是一位农民出身的数学家(右为梁培基)

  一根筋,只做幻方达人
  在幻方这个大迷宫里,路途千回百转没有尽头,梁培基的研究工作也同样没有尽头——攻克一个难题,他会立即转向一个新的难题,在相邻的两个难题之间,则是绞尽脑汁的思考和一丝不苟的验证过程,这样的过程在局外人看来枯燥无比,而对梁培基而言其乐无穷。
  1996年,经过反复研究验算,沉寂多时的梁培基终于又有了新的闪亮时刻——这一次他得出一个最快捷简便的4k阶“和幻方”的造法,并将其命名为“快速书写法”,因为其构造速度之快就好像在空白纸上书写自然数差不多,方法简单,几分钟就能掌握。梁培基为此还编了朗朗上口的歌诀:“方阵分为井字形,四角中心顺序行,其余四边逆序写,4k阶幻方顷刻成。”此“偶数阶幻方快速构作”研究成果发表于《数学传播》。
  美国科学家富兰克林生前曾创造出举世无双的“曲线求和幻方”,被《有趣的数论》一书誉为“最神奇的幻方”。但遗憾的是,他的幻方两条对角线之和不等于幻方的幻和。而梁培基在1990年时构造出既满足富兰克林的幻方性质,又使两条对角线之和等于幻方之和的新方法,称为“优化富兰克林幻方”。富兰克林生前还有一个美好的愿望,就是构造幻方不要过多复杂的计算,或调换位置,就像书写自然数一样快捷。而梁培基1996年给出的“直接书写法”正是富兰克林生前所期盼的。这位科学家当年恐怕做梦也没有想到,他所留下的遗憾和愿望,竟然在多年后被中国农民数学家双双破解了。
  因为对数学的痴迷研究,梁培基以仅读过初中二年级的农民身份跻身组合数学研究的专业领域,被破格录用为国家干部,并被破格评为副研究员,破格参加若干学术会议,而他的论文则发表于《数学传播》《数学研究与评论》《自然杂志》《数学通报》以及组合数学界的权威杂志、加拿大温尼伯大学计算机系的JCMCC。
  面对诸多荣誉,梁培基很淡定。当有人称他为“专家”、“教授”时,他连说不敢,表示自己只是芸芸众生中喜欢幻方的小卒一个。而当有电视台记者称他为数学家时,他则幽默地纠正为“家学数”,理由是他没有上高等学校深造,也没有出国留学,是在自己家里研究数字的。
  梁培基一心痴迷于数学,无论看到什么都能与数字挂钩。有一次,他看到一个叫“605”的玉米种,就神秘地说:嗯,这个玉米可以种。”有人问为什么,他答:“605=5×121,而1、2、1是“起步走”的口令,预示着这个品种刚刚起步,而且是一个像军人一样有严格纪律的团体。看到发问者意犹未尽,他又补充说:“你看,121=11×11,这1111像挺立的玉米杆,估计还能抗倒伏咧!”如此这般一番数字化解释,令周围的听众都忍俊不禁,不得不服。他不但乐于偶尔以数字方式“幽上一默”,同时也很乐于用他所擅长的数字组合方式来关注国事——新中国成立60周年时,他用15个自然数构建了一副别具一格的五星图,用以浓缩共和国60年来的重大事件;当十九大召开之时,他又满腔热情的构造了一个新的数字五角星,用以浓缩中国共产党所走过的历程。如今他虽已是耄耋老人,但一天都没有停止过以各种方式对于数字组合进行探索研究……

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